Théorème de Pythagore et réciproque

Le théorème de Pythagore est omniprésent dans les exercices de géométrie de l'épreuve de maths du brevet. Il est primordial de savoir l'appliquer et surtout le rédiger.

Le Théorème de Pythagore

A quoi sert ce théorème inventé par le mathématicien grec Pythagore ?

  1. Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsque l'on connait les longueurs des deux autres côtés.
  2. Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle lorsque l'on connait les longueurs des trois autres côtés.

Le théorème est le suivant :

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Rédaction attendue le jour du brevet :

On sait que le triangle ABC est rectangle en B.

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :

BC² = AB² + AC²

D'où : AC² = BC² - AB²

  AC² = 5² - 3²

  AC² = 16

  AC = \sqrt{16}

  AC = 4

Réciproque du Théorème de Pythagore

A quoi sert la réciproque ?

  1. Prouver qu'un triangle est rectangle lorsque l'on connait les longueurs des trois côtés.

Le théorème est le suivant :

Si le carré de la longueur du côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Rédaction attendue le jour du brevet :

On sait que ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=3cm, AC=4cm et BC=5cm.

Si le carré de la longueur du côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

D'une part BC² = 5² = 25

D'autre part AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Donc d'après la réciproque* du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

 

* : ATTENTION: si les calculs montrent que le triangle n'est pas rectangle, il faut écrire "contraposée" à la place de "réciproque".



5 commentaires sur Théorème de Pythagore et réciproque

  1. elena a écrit 17 juin 2012

    Bonjour, votre site est d'une grande aide, moi qui passe le brevet de français et de mathématiques demain, je vous dis merci!

  2. Merci Pour Ce Cours Rapide Et Bien Expliqué :P

  3. pourquoi les quiz ne fonctionnent ils pas?

  4. Ce site explique bien les leçons mais est bourré de faute, ( théorème de Pytagore : rédaction : triangle RECTANGLE EN A ET PAS EN B ; et les résultats d'exemple des leçons sont sous forme d'adresse...à corriger....

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